（看到这里科普文章不少都能评上精选和知识库，我不清楚具体标准，但也打算浅尝试一下，写的不好还请海涵） 转动，是生活中一个非常常见的现象。而在学习中，我们在初中接触杠杆原理的时候，也接触过转动力学了。今天，我将尝试更系统地讲述转动力学。 作为一种运动，我们对转动的研究与对平动的研究有不少相似之处，因此首先，我们把平动模型中的一些因素与结论列出来： 位移：r 速度：v = dr/dt 加速度：a = dv/dt 质量：m 力：F 动量：p = mv 牛顿第二定律：F = dp/dt 动能：K = (1/2)mv^2 与之相应的，转动显然应该具有相似的因素和结论： 角位移：θ 角速度：ω = dθ/dt 角加速度：α = dω/dt 转动惯量：I 力矩：τ 角动量：L 角动量定理：τ = dL/dt 转动动能：K = (1/2)Iω^2 总的来说，对于平动，力改变动量，质量抵抗速度变化；与之相应的，对于转动，力矩改变角动量，转动惯量抵抗角速度变化。下面我们来详细看看。 一、力矩 对某个参考点 O，力 F 的力矩定义为： τ = r × F = rF sinθ = Fd 其中，r 是从参考点 O 指向力的作用点的矢量；× 表示叉乘，数值上等于模相乘乘以夹角的正弦（就是四二个式子）；d = r sinθ 叫力臂，即参考点到力的作用线的垂直距离。 方向由叉乘决定，可以用右手螺旋定则确定，垂直于 r 和 F 构成的平面。单位是 N·m。 下面来看一些小点。 1.对轴的力矩 如果研究绕某固定轴转动，只关心力矩沿该轴的分量。例如绕 z 轴： τ_z = (r × F)_z = xF_y - yF_x 只有沿轴的力矩分量会改变绕该轴的角动量。 2.合力矩 多个力作用时： τ_合 = ∑ r_i × F_i 注意： 力矩依赖参考点。同一个力，对不同参考点力矩不同。若力的作用线通过参考点，则该力对此参考点力矩为零。 3.力矩平衡 刚体平衡条件： ∑ F = 0 ∑ τ = 0 第二个条件也必须对同一参考点成立。 二、角动量 对参考点 O，质点角动量定义为： L = r × p = r × mv = rmv sinθ = mvd 其中，d = r sinθ 是参考点到速度方向的垂直距离。 方向仍用右手定则，垂直于 r 和 v 所在平面。单位是 kg·m^2/s。 对于圆周运动，若绕圆心： L = mr^2ω 方向沿转轴。 1.质点系角动量 对质点系： L = ∑ r_i × m_i v_i 对固定点 O，总角动量可以分解为“轨道角动量+自旋角动量”： L_O = r_C × Mv_C + L_C（可以理解成公转和自转） 其中，r_C 是质心位置，v_C 是质心速度，L_C 是质心系中的角动量。 3. 刚体定轴转动角动量 若刚体绕固定轴转动，且轴为主轴或对称轴，则： L_z = Iω，方向沿转轴。 （类似于动量定理，准确来说，这个公式的适用情况是所有质量元都绕同一根固定轴、以相同的角速度 ω 转动，而且它们到轴的距离 r 不随时间变化。这个情况是符合的） 方向沿转轴。 三、角动量定理 1. 质点角动量定理 对固定参考点： dL/dt = τ 推导： dL/dt = d/dt(r × p) = dr/dt × p + r × dp/dt 因为 dr/dt = v p = mv 所以 v × mv = 0 于是： dL/dt = r × F = τ 即：合外力矩等于角动量的时间变化率。 2. 质点系角动量定理 对质点系： dL/dt = τ_外 内力矩成对抵消，所以只算外力矩。这就像是两个人互推，虽然改变量各自的动量，但不改变总动量。 积分形式： ∫ τ dt = ΔL 左边叫角冲量或冲量矩。 3. 参考点问题 刚刚那个比较简洁的角动量定理只对以下参考点成立： 第一，惯性系中的固定点； 第二，质心。 对任意动点 A，会有修正项： dL_A/dt = τ_A - v_A × P 其中，P = ∑ m_i v_i 是总动量。若 A 固定，或 A 是质心，则修正项为零。这个修正项相当于是A自身的运动所带来的等效力矩。 五、角动量守恒 若合外力矩为零，则角动量不变，这就是角动量守恒。 注意： 合外力为零，不一定角动量守恒； 合外力矩为零，但合外力可以不为零； 角动量守恒是矢量守恒，不只是大小不变。 让我们来看一些例子： 1. 花样滑冰收臂 外力矩近似为零，角动量守恒： I_1ω_1 = I_2ω_2 收臂后 r 减小，因此 I 减小，ω 增大。 2. 开普勒第二定律 行星受中心力，力矩为零，角动量守恒： dA/dt = L/(2m) = 常数 即行星与太阳连线在相等时间扫过相等面积。 六、刚体定轴转动的情况 1. 转动惯量 我们知道，转动惯量与质量，角速度与速度对应。那么，假如我们写 K = 1/2 m v^2 =1/2 I ω^2 我们就可以根据 v = ωr 得出 I = m r^2 于是我们得到刚体绕某轴转动的转动惯量： I = ∑ m_i r_i^2 连续体： I = ∫ r^2 dm 其中，r 是质量元到转轴的垂直距离。 这里整理一些常见转动惯量： 细杆，过中心垂直杆：I = (1/12)ML^2 细杆，过端点垂直杆：I = (1/3)ML^2 圆环，过中心垂直环面：I = MR^2 圆盘，过中心垂直盘面：I = (1/2)MR^2 实心球，过球心：I = (2/5)MR^2 空心球壳，过球心：I = (2/3)MR^2 实心圆柱，沿中心轴：I = (1/2)MR^2 平行轴定理： I = I_C + Md^2 其中，I_C 是绕质心轴的转动惯量，d 是两平行轴距离。 薄板垂直轴定理： I_z = I_x + I_y 2. 定轴转动定律 若转动惯量不变： τ_z = Iα 或： τ_z = d(Iω)/dt 若 I 也变化： τ_外 = d(Iω)/dt = Iα + ω dI/dt 3. 转动动能与功 转动动能： K = (1/2)Iω^2 力矩做功： W = ∫ τ dθ 功率： P = τω 角冲量： ∫ τ dt = ΔL 七、三维刚体与陀螺 对一般三维刚体，角动量不一定与角速度同向： L = I · ω 其中，I 是惯性张量。写成分量： L_i = ∑ I_ij ω_j 惯性张量元素例如： I_xx = ∫ (y^2 + z^2) dm I_xy = -∫ xy dm 若坐标轴选在主轴方向，则惯性张量对角化： L_1 = I_1ω_1 L_2 = I_2ω_2 L_3 = I_3ω_3 此时若 I_1 = I_2 = I_3，则 L 与 ω 同向。 陀螺进动： τ = dL/dt = Ω × L 进动角速度大小为 Ω = τ/L 例如重力矩 τ = Mgd，自转角动量 L = Iω，则 Ω = Mgd/(Iω)