<b><i>发作品了</i></b> <size=55>求收藏！！！</size> 你好{visitor}！如果你喜欢我的作品，可以在评论区给出支持 paperpass 重复5% AIGC 0% gptzero  重复1 % AIGC 2% 今天我们讲讲恒星流体静力学方程推导 首先依然是介绍 我们可以把恒星内部看做由自引力束缚的等离子体流体，恒星能够长期的稳定演化，而且几乎不发生大幅膨胀或坍缩，就是因为流体静力学的平衡。这个平衡的定义是：恒星内部任意一层流体微元，向内的自引力与向外的气体压力、辐射压力合力完全被抵消，流体没有宏观的径向运动。 我们用像太阳这类的稳定主序星举个例子，太阳数十亿年的稳定存在完全靠的这一平衡；若压力大于引力，恒星外层物质会向外膨胀，恒星的温度、密度降低；若引力强了，恒星就会收缩、内部温度和压强急剧升高。今天介绍的流体静力学方程是恒星结构四大基础方程之首，因为它描述了恒星径向方向上压强随半径的变化规律，如果再结合质量连续方程、能量输运方程与物态方程，就可以完整得出恒星内部的规律（太难了这里就不多说了）。今天我们基于恒星是球对称的经典假设，也就是同一球面上压强、密度、温度等物理量都均匀一致，仅仅随径向的半径变化来推导。 推导过程 我们先在恒星内部取距离球心r处、厚度为dr的极薄球壳流体微元，设该位置流体密度为ρ(r)，推导这基于微元的受力平衡分析。 先计算微元的基本参数 薄球壳内球面面积S=4πr²，微元体积dV=4πr²dr， 故微元质量dm=ρ·dV=4πr²ρdr。 再对引力受力分析 我们根据牛顿壳层定理，球壳外侧的恒星物质对该微元引力合力为零，仅半径r以内的质量对微元产生引力。设r以内恒星总质量为M(r)，所以微元受到的向内引力为： Fg = -GM(r)dm/r² 这个式子中负号表示引力的方向沿径向指向球心，与半径正方向相反。 然后压力受力分析 微元内侧r处的压强为P(r)，产生向外的压力F内=4πr²P； 微元外侧r+dr处压强为P+dP，产生向内的压力F外=4πr²(P+dP)； 所以微元所受压力就是内外压力的差值： Fp = F内-F外 = 4πr²P - 4πr²(P+dP) = -4πr²dP。 最后我们整理一下平衡条件与方程 因为流体静力学平衡状态下，微元径向合力为零，即Fg+Fp=0，我们代入受力公式： -4πr²dP - GM(r)·4πr²ρdr/r² = 0 再约去等式两侧公共项4πr²，就可以化简得： dP + GM(r)ρdr/r² = 0 最终推导出恒星流体静力学方程： dP/dr = -GM(r)ρ(r)/r² 我们可以注意到：恒星内部压强随半径增大单调递减，恒星中心压强最高，依靠超高压强支撑外层海量物质的引力重量，维持恒星的稳定。注意一下，这个方程适用在稳定状态、没有宏观的运动的球对称恒星，而像超新星爆发等过程中平衡失效的时候方程就不再适用了。 太阳中心的压强的计算 我们结合上述方程，就可通过近似积分的方法估算太阳中心压强。我们依旧采用平均近似，取太阳总质量M⊙=2×10³⁰kg，太阳半径R⊙=7×10⁸m，太阳平均密度ρ≈1400kg/m³，引力常量G=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²。 因为恒星内部质量均匀分布，M(r)≈M⊙·r/R⊙，代入静力学方程 dP/dr = -G·(M⊙r/R⊙)·ρ / r² = -GM⊙ρ/(R⊙r) 对公式从恒星中心（r=0，P=Pc）到恒星表面（r=R⊙，P≈0）积分： ∫(Pc→0) dP = -∫(0→R⊙) GM⊙ρ/(R⊙r) dr 积分化简后就得到了近似中心压强公式：Pc≈GM⊙ρ/R⊙ 最后代入数值计算： Pc≈6.67×10⁻¹¹×2×10³⁰×1400 / 7×10⁸ Pc≈2.67×10¹⁴ Pa 这个估算的结果和太阳中心真实的压强（约2×10¹¹~3×10¹⁴Pa）差不多，其中的误差是源于我们用了均匀密度近似，你学会了吗？呵呵。