RRR.二倍角公式 一. 导入 在研究三角函数的过程中，我们一步步加深对三角函数的理解。从一开始的锐角范围到如今的任意角范围，从诱导公式到角的和差公式，我们的数学根基又筑牢了一毫。而在今天，我们将对角的和差公式的三个特殊情况，二倍角公式进行研究并拓深，在探讨过程中体验数学之美与其精巧，提升我们的思维方式。 二. 探讨过程 1. 基本公式 已知角的和差公式 一部分 sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) （其中，α，β，α+β均不等于 π/2 + kπ，k为整数） 而令α=β=θ，我们就得到了二倍角基本公式 sin(2θ) = 2sinθcosθ cos(2θ) = cos²θ - sin²θ tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ) （其中，θ，2θ均不等于 π/2 + kπ，k为整数，tanθ≠±1） 2. 衍生公式 2.1 余弦转化公式 将 sinθ ± cosθ 平方后可得 sin²θ + cos²θ ± 2sinθcosθ 因此 (sinθ ± cosθ)² = 1 ± sin2θ 2.2 正弦转化公式 我们知道 cos²θ + sin²θ = 1 则 cos(2θ) = (cos²θ + sin²θ) - 2sin²θ = 1 - 2sin²θ 或 cos(2θ) = 2cos²θ - (cos²θ + sin²θ) = 2cos²θ - 1 这样，我们就得到了正弦二倍角公式的3个等价形式。 而 cos(2θ) = 1 - 2sin²θ cos(2θ) = 2cos²θ - 1 又称作“降角升次公式” 同样，也有等价公式 sin²θ = (1 - cos(2θ)) / 2 … ① cos²θ = (1 + cos(2θ)) / 2 … ② ①/②，可得 tan²θ = (1 - cos(2θ)) / (1 + cos(2θ)) … ③ 其中，①②③均被称作“升角降次公式” 当我们对①②③左右两边同时开二次方，又得到了一组公式 sinθ = ±√((1 - cos(2θ)) / 2) cosθ = ±√((1 + cos(2θ)) / 2) tanθ = ±√((1 - cos(2θ)) / (1 + cos(2θ))) 它们被称作“半角公式”，其中，“+”、“-”由角终边所在象限决定。 2.3 正切表示转化 由 cos²θ + sin²θ = 1，可得到 sin(2θ) = 2sinθcosθ = 2sinθcosθ / 1 = 2sinθcosθ / (cos²θ + sin²θ) = (2tanθ · cos²θ) / ((1 + tan²θ) · cos²θ) = 2tanθ / (1 + tan²θ) cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = (cos²θ - sin²θ) / 1 = (cos²θ - sin²θ) / (cos²θ + sin²θ) = ((1 - tan²θ) · cos²θ) / ((1 + tan²θ) · cos²θ) = (1 - tan²θ) / (1 + tan²θ) 它们与 tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ) 合称为“万能公式” 2.4 对比小结 由于二倍角公式是角的和差公式的特例，因此，相对于推导角的和差公式，二倍角公式较为易推。在推导过程中，我们（在角的和差公式基础上）仅使用了三角函数的同角转换，等式的性质，换元思想，开二次方运算等基础方法。 但是，在实际应用与解题中，我们需要灵活使用各种公式与衍生公式。 三. 例题简析 1. 直接应用 例1：已知sinα = 12/13，α属于(π/2, π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 ——苏教版《高中数学必修二》10.2. 例1 思考：已知sinα，那就可以知道cosα，然后就可以求出sin2α，cos2α的值，接着就可以求出tanα。 解：∵ sinα = 12/13，α属于(π/2, π) ∴ cosα = -√(1 - sin²α) = -5/13 ∴ sin2α = 2sinαcosα = -120/169 cos2α = cos²α - sin²α = -119/169 ∴ tan2α = sin2α / cos2α = 120/119 例2：证明：(1 + sin2θ - cos2θ) / (1 + sin2θ + cos2θ) = tanθ ——苏教版《高中数学必修二》10.2 例2 思考：左边那一大块，不易直接化简，因此使用二倍角公式化开2θ，就变成同角三角函数的问题了。 解：∵ 原式 = (sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ - cos²θ + sin²θ) / (sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ + cos²θ - sin²θ) = 2sinθ(sinθ + cosθ) / 2cosθ(sinθ + cosθ) = sinθ / cosθ = tanθ ∴ 原命题成立。 2. 余弦变形公式 例3：若sinα + cosα = 1/2，则sin2α = ( ) A. 3/4 B. 3/8 C. -3/8 D. -3/4 思考：直接用余弦变形公式 (sinα + cosα)² = 1 + sin2α 得 (1/2)² = 1 + sin2α 解之得 sin2α = -3/4 解：D 此例用初始公式做，当然可以，只不过思考时间更长。如果使用衍生公式做，就可以节约更多时间去思考大题。 3. 正弦变形公式 例4：已知tanα = -1/2，则(1 - sin2α) / (1 + cos2α)的值。 思考：由(sinα - cosα)² = 1 - sin2α （余弦变形公式） 由cos2θ = 2cos²θ - 1，得1 + cos2α = 2cos²α （正弦变形公式） 因此，原式 = (sinα - cosα)² / 2cos²α 又tanα = -1/2 得sinα / cosα = -1/2，则sinα = -1/2cosα ∴ 原式 = (-1/2cosα - cosα)² / 2cos²α = 9/4cos²α / 2cos²α = 9/8 解：9/8 4. 万能公式 例5：(1)已知tanθ = -2，则sin2θ = ( ) (2)已知tanθ = 1/3，则cos2θ = ( ) 思考：直接应用该公式，过程略 解：(1) -4/5 (2) 4/5 此例，向我们展示了万能公式的最大用途——直接代入与简化计算与推导过程。 5. 半角公式 例6：已知α为锐角，cosα = (1+√5)/4，则sin(α/2) = ( ) ①[直接代入] 得sin²(α/2) = (6-2√5)/16 = ((1-√5)/4)² 又知α为锐角 则sin(α/2) > 0 ∴ sin(α/2) = (√5-1)/4 ②[利用公式] sin²(α/2) = (1 - cosα) / 2 解之得 sin(α/2) = (1+√5)/4 或 (√5-1)/4 又∵α为锐角 ∴ sin(α/2) = (√5-1)/4 此例，展示了半角公式的无用——不仅难背，而且没有用处。 四. 应用简述 各种本次所介绍的公式，大大小小合计13个公式。 但是—— 需要背的仅为3个（或0个）。 说0个是因为基础公式本就是角的和差公式的特例，可以直接代入。 说3个则因为想熟练掌握，则需背3个基础公式，做到烂熟于心（实际也不难背） 而其余的，用处仅在于直接应用。正似二级结论模型般，要求理解与运用即可。这些公式，只需要会推导过程。 五. 总结展望 本文通过证明了二倍角公式，进一步研究了角的和差三角函数公式。重点在于介绍了许多形如二级模型般的公式。拓宽了大家对二倍角公式的理解。略余，我们推翻了原有的应试思维，从而跳到了新的高度解题。学好本次内容，能为以后的数学之厦添砖加瓦。